[Mechanical Vibration] 03

 

진동 시스템에서는 포텐셜 에너지(위치 에너지)와 운동 에너지가 서로 변환되면서 진동이 지속

 

✅ 과도응답(Transient Response)란?

과도응답은 시스템이 외부 자극(입력, 초기 조건 변화 등)을 받았을 때, 새로운 정상 상태에 도달하기 전까지 나타나는 응답을 말해요.

🔹 과도응답의 특징

• 초기 조건에 영향을 받음
• 시간에 따라 감쇠되거나 증가할 수 있음
• 영구적으로 유지되지 않고 결국 정상상태(Steady-State)로 전환됨
• 시스템의 **감쇠비(ζ)**와 **고유진동수(ωₙ)**에 의해 결정됨

예를 들어, 스프링-질량 시스템이 한쪽으로 잡아당겼다가 놓이면, 처음에는 크게 진동하다가 점점 줄어드는 **감쇠진동(damped vibration)**을 보이는데, 이게 과도응답이에요.

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✅ 고유진동수(Natural Frequency)란?

고유진동수(𝜔ₙ, Natural Frequency)는 시스템이 외부 힘 없이 자유롭게 진동할 때의 고유한 진동수예요.

🔹 고유진동수 공식 (1자유도계 스프링-질량 시스템)

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• k: 스프링 상수 (N/m)
• m: 질량 (kg)
• 단위: rad/s (라디안/초)

고유진동수는 시스템의 진동 특성을 결정하는 중요한 값으로, 특정 외부 힘(강제진동)과 같아지면 **공진(Resonance)**이 발생하여 시스템이 심하게 흔들릴 수 있어요.

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✅ 시스템의 안정/불안정 판별법

시스템이 안정(Stable) 한지, 불안정(Unstable) 한지는 자연 응답이 시간에 따라 수렴하는지 발산하는지를 보면 돼요.

🔹 안정성 조건

1. 과도응답이 감쇠되면서 0으로 수렴하면 안정함.
2. 과도응답이 계속 유지되거나 점점 커지면 불안정함.
3. 임계 안정(Critically Stable): 일정한 값에서 멈추는 경우.

특히, 감쇠비(ζ, damping ratio)에 따라 시스템의 안정성이 결정돼요:

• ζ > 1 (과감쇠, Overdamped): 너무 많이 감쇠되어 천천히 목표점에 도달 → 안정
• 0 < ζ < 1 (부감쇠, Underdamped): 진동하면서 점점 작아짐 → 안정
• ζ = 0 (무감쇠, Undamped): 에너지가 빠져나가지 않아 계속 진동 → 중립적
• ζ < 0 (불안정, Unstable): 시간이 지날수록 진동이 커짐 → 불안정 ❌

즉, 감쇠비 ζ < 0이면 시스템이 폭주하고, ζ > 0이면 시간이 지나면서 안정해집니다.

*steady state : "더 이상 변하지 않고, 계속 같은 상태를 유지하면 정상상태!"

🏀 예제 1: 농구공 튀기기

농구공을 바닥에 툭! 하고 튕겼다고 생각해봐!

• 처음엔 높게 튀어오르지만,
• 시간이 지나면 점점 덜 튀다가 결국 멈추지?

여기서 공이 완전히 멈춘 상태가 **정상상태(Steady-State)**야!
👉 "이제 더 이상 변하지 않는 상태!"

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🚀 예제 2: 그네 타기

그네를 한 번 세게 밀면

• 처음엔 크게 왔다 갔다 하지만,
• 시간이 지나면 천천히 움직이다 멈춰

완전히 멈춘 상태가 바로 정상상태야!

하지만!
누가 계속 밀어주면?

• 그네는 멈추지 않고 일정한 리듬으로 계속 흔들려!

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✅ 맞아! 모델링을 먼저 하고, 그다음 운동방정식을 찾는 거야!

어떤 시스템을 분석할 때, 무조건 먼저 모델링을 해야 해.
왜냐하면, 모델을 만들지 않으면 수학적으로 분석할 수도 없고, 운동방정식을 세울 수도 없기 때문

 

 

*편심되었다 : 표현은 일반적으로 어떤 물체나 시스템이 중심에서 벗어나 있다는 의미